QUÍMICA ORGÁNICA
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  Tema 3. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN VARIABLE

- Notación
- Conceptos y Definiciones
- Análisis de sistemas concentrados
- Conducción del calor en régimen variable en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas grandes
- Conducción del calor en régimen variable en sólidos semiinfinitos
- Conducción del calor en régimen variable en sistemas multidimensionales
- Problema básico
   
ARRIBA NOTACIÓN
 

- En ESTE DOCUMENTO la velocidad de tranferencia de calor se denota por Q-punto que es lo mismo que.
- En ESTE DOCUMENTO el flujo de calor ( Q-punto / A ) se denota por q-punto que es lo mismo que .

   
 

- OTRA NOTACIÓN que se puede ver en otros libros o apuntes es la siguiente:
-- Para la velocidad de transferencia de calor :
-- Para el flujo de calor: j

   
ARRIBA CONCEPTOS Y DEFINICIONES
  - La transferencia de calor ocurre en RÉGIMEN VARIABLE cuando la temperatura de al menos uno de los sistemas entre los que se produce la transferencia varía con el tiempo.

- Un sistema se dice CONCENTRADO cuanto la temperatura varía con el tiempo pero no con la posición espacial, es decir, en un instante dado todo el sistema se encuentra a la misma temperatura.

- Se define el número de BIOT ( Bi ) como: Bi = ( h*Lc ) / k ; donde Lc = V / As ; V : volumen del sistema ; As : superficie de transferencia del sistema.
-- Para una placa plana grande de espesor E, bañada por el mismo fluido por las dos caras Lc = E / 2 .
-- Para un cilindro de radio R, Lc = R.
-- Para una esfera de radio R, Lc = R.

- Cuando se produce transferencia de calor desde un fluido a un sistema sólido rodeado por dicho fluido, primero se transfiere el calor desde el fluido al sólido mediante convección y después el calor se transfiere desde el exterior al interior del sólido mediante conducción.

- El número de Biot se puede expresar también como:

- O también:

- El análisis utlizando el modelo de sistema concentrado es exacto cuando Bi = 0, pues en este caso la resistencia a la conducción dentro del sisema es nula y su temperatura uniforme. En los casos reales es imposible que Bi = 0 pues todos los sistemas presentarán alguna resistencia a la conducción en mayor o menor medida, siendo Bi > 0, y el análisis será aproximado. Cuanto más pequeño sea el número de Biot menos inexacto será el análisis. En general, se considera aplicable el modelo de sistema concentrado cuando Bi < 0,1.
- El modelo de sistema concentrado es aplicable a los cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor.
   
ARRIBA ANÁLISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS
  - Se considera un cuerpo sólido de masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti. En el instante t = 0, la temperatura del fluido que rodea al cuerpo es Tf y el coeficiente de película h. Se supone que Tf > Ti aunque el análisis también sería válido para Tf < Ti.
- Al considerar el sistema como concentrado se supone que la temperatura dentro del cuerpo es uniforme en cada instante y sólo cambia con el tiempo T = T ( t ).
- Durante un intervalo dt la temperatura del cuerpo se eleva una cantidad dT. El balance de energía del sistema en el intervalo de tiempo dt se puede expresar como: ( Transferencia de calor hacia el cuerpo durante dt ) = ( Incremento de la energía del cuerpo durante dt ) cuya expresión matemática es: h As ( Tf - Ti ) dt = m Cp dT

m = rV
Tf = cte, entonces dT = d ( T - Tf )

- La ecuación del balance de energía se puede transformar en:

- Integrando:

- Transformando:

- La velocidad de transferencia de calor en función del tiempo queda: Q-punto ( t ) = h As [ T ( t ) - Tf ) ]

- La cantidad total de calor transferida en un tiemp t será igual al incremento de energía del cuerpo en ese tiempo : Q = m Cp [ T ( t ) - Ti ]

- La cantidad total de calor transferida será máxima cuando el cuerpo alcance la temperatura del fluido: Q max = m Cp ( Tf - Ti )
   
ARRIBA CONDUCCIÓN DEL CALOR EN RÉGIMEN VARIABLE EN PAREDES PLANAS GRANDES, CILINDROS LARGOS Y ESFERAS RELATIVAMENTE GRANDES
ARRIBA - El modelo de sistema concentrado es aplicable a cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor, sin embargo no es aplicable a cuerpos relativamente grandes y/o malos conductores del calor.
- El caso más general es el de un cuerpo relativamente grande rodeado por un fluido cuya temperatura pemamece constante ( la variación de la temperatura del fluido es muy pequeña y se puede considerar constante ).
- A continuación se analiza la transferencia de calor entre un cuerpo relativamente grande ( pared plana, cilindro o esfera ) rodeado por un fluido cuya temperatura permanece constante a lo largo del tiempo y del espacio. El mecanismo de transferencia de calor es convección y el coeficiente de película, h , es constante y uniforme. Se considera una pared plana de espesor 2L, un cilindro de radio r y una esfera de radio r inicialmente a una temperatura uniforme Ti. La temperatura del fluido es Tf = cte.

- NOTA.- Una pared plana se considera grande cuando su espesor es mucho menor en relación a las otras dos dimensiones. Un cilindro se considera largo cuando su diámetro es mucho menor que su longitud. Una esfera se considera grande cuando no se puede aplicar el modelo de sistema concentrado.

- La variación de la temperatura con el tiempo en una pared plana se ilustra en la figura siguiente:



- Se supone Ti > Tf y que la transferencia de calor es unidimensional en la direccion x ( radial en el caso de cilindro o esfera ). Inicialmente toda la pared está a la temperatura Ti. Al entrar en contacto con el fluido que está a una temperatura inferior Tf, la superficie exterior se enfria, por lo que aparece un gradiente de temperatura que provoca una transferencia de calor desde el interior al exterior. La temperatura en el plano central de la pared se mantendrá en Ti hasta el instante t2. A partir de ese momento ira disminuyendo con el paso del tiempo hasta que toda la pared se encuentre a la temperatura del fluido, entonces la transferencia de calor cesará al no existir diferencia de temperatura entre la pared y el fluido.
- El proceso descrito anteriormente también es válido para un cilindro y una esfera grandes.
- El modelo matemático de este proceso da lugar a una ecuación diferencial en derivadas parciales poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Se prefiere la solución en forma de tabla o gráfico. La solución comprende los parámetros x, L, t, k, a ( difusividad térmica ), h, Ti y Tf. Para disminuir el número de parámetros se reducen dimensiones al problema mediante la definición de cantidades adimensionales cuyas expresiones, para una pared plana grande, se muestran a continuación:

- TEMPERATURA ADIMENSIONAL:


- DISTANCIA ADIMENSIONAL DESDE EL CENTRO:

- Número de BIOT ( Coeficiente adimensional de transferencia de calor ) :

- Número de FOURIER ( Tiempo adimensional ) :

- Las expresiones para un cilindro largo y una esfera son las mismas reemplazando la variable x por r y L por el radio exterior ro.
ARRIBA  
  - El problema de transferencia de calor en una sola dirección espacial en régimen variable descrito anteriormente tiene una solucíon que incluye una serie infinita lo que la hacen poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Para t> 0,2 el error que se produce al considerar el primer término de la serie y despreciar todos los demás es inferior al 2%, margen de sobra válido para la realización de cálculos. Las expresiones de la temperatura en función del tiempo y la distancia al centro, considerando sólo el primer término de la serie, quedan de la siguiente forma:









- Las constantes A1 y l1 son funciones, exclusivamente, del número de Biot. Sus valores respecto a Bi están tabulados ( Tabla 4.1 - página 219 - Transferencia de calor - Junus A. Cengel - McGraw-Hil ).
- Jo es la función de Bessel de primer orden. Sus valores están tabulados ( Tabla 4.2 - página 219 - Transferencia de calor - Junus A. Cengel - McGraw-Hill ).

- IMPORTANTE.- Las expresiones anteriores son válidas suponiendo un cambio brusco en la temperatura del fluido en contacto con el sólido o , considerándolo desde otro punto de vista, cuando h es finito. En el caso de que se suponga un cambio brusco en la temperatura del fluido, es decir, si la temperatura del la superficie del sólido ( Ts ) alcanca rápidamente la temperatura del fluido ( Tf ) se considera que h es infinito. En el caso de temperatura específica de la superfcie del sólido, en la expresión de la temperatura adimensional se cambia el valor de la temperatura del fluido ( Tf ) por el valor de la temperatura de la superficie del sólido ( Ts ). El caso de temperatura supercial específica se tiene muy aproximadamente en la práctica cuando sobre la superficie del sólido existe condensación o ebullición.

- Particularizando para el centro:

-- CENTRO DE UNA PARED PLANA ( x = 0 ) :

-- CENTRO DE UN CILINDRO ( r = 0 ) :

-- CENTRO DE UNA ESFERA ( r = 0 ) :
ARRIBA  
  - Se supone que cuando el tiempo tiende a infinito ( el periodo de tiempo es lo suficientemente largo ) la temperatura del cuerpo es la misma que la del fluido que lo rodea. Por lo tanto el máximo calor transferido entre el cuerpo y el fluido será igual al incremento de energía del cuerpo:
  Qmax = m Cp ( Tf - Ti ) = r V Cp ( Tf - Ti )
  - La cantidad de calor transferido Q en un tiempo finito t será menor que la cantidad de calor máxima Qmax. La fracción de calor transferido en un tiempo t con relación a la cantidad calor máxima vienen dadas por las expresiones siguientes:

-- PARED PLANA:

-- CILINDRO:

-- ESFERA:
ARRIBA  
  - Las soluciones a las ecuaciones anteriores, tanto las de la temperatura como las de la fracción de calor, tambíen se presentan en forma gráfica mediante los diagramas de temperatura transitoria: los diagramas de HEISLER/GRÖBER ( Páginas 220 - 221 - 222 - Transferencia de calor - Junus A. Cengel - McGraw-Hill )
- Existen 3 diagramas asociados con cada configuración geométrica ( pared plana, cilindro, esfera ) :
-- El primero es para determinar la temperatura en el centro ( plano central en el caso de la pared plana, eje central en el caso del cilindro ) en un instante t.
-- El segundo es para determinar la temperatura en otros puntos de la geometría con referencia a la temperatura en el centro.
-- El tercero es para determinar la cantidad total de transferencia de calor hasta el instante t.
   
  - APUNTES.
-- Un valor pequeño del número de Biot ( Bi ) indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña con relación a la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. Entonces, la temperatura dentro del cuerpo es bastante uniforme y es aplicable el modelo de sistema concentrado.
-- El número de Fourier es una medida del calor conducido a través de un cuerpo con relación al calor almacenado en él. Por tanto, un valor grande del número de Fourier indica una propagación más rápida de calor a través del cuerpo
   
ARRIBA CONDUCCIÓN DEL CALOR EN RÉGIMEN VARIABLE EN SÓLIDOS SEMIINFINITOS
  - Un sólido semiinfinito es aquel que su distribución de temperatura sólo depende de una superficie, es el caso del estudio del campo de temperaturas en un muro grueso en la zona cercana a la superficie. Mientras que el campo de temperatura de una pared plana depende de las dos superficies que están en contacto con el fluido, en el caso de un sólido semiinfinito el campo de temperatura sólo depende de una superficie.
   
  - La temperatura adimensional, en el caso de cambio brusco de la temperatura del fluido, se define como:



- Las soluciones obtenidas para la temperatura adimensional se presentan gráficamente ( Figura 4-23 - página 229 - Transferencia de calor - Junus A. Çengel - McGraw-Hill ) .

- En el caso de temperatura superficial ( Ts ) específica::
   
ARRIBA CONDUCCIÓN DEL CALOR EN RÉGIMEN VARIABLE EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES
  - Se pueden resolver problemas de transferencia de calor en sistemas multidimensionales componiendo adecuadamente los sistemas unidireccionales ( pared plana grande, cilindro largo, esfera y sólido semiinfinito ) mediante un procedimiento de superposición llamado solución producto ( Páginas 231 - 232 - 233 - 234 - Transferencia de calor - Junus A. Çengel - McGraw-Hill ) .
ARRIBA PROBLEMA BÁSICO
ARRIBA - El problema básico es de tres tipos:

a ) Se conoce la temperatura inicial del cuerpo objeto de estudio y se pretende predecir la temperatura que alcanza un determinado punto en un período de tiempo dado. El método para resolver este problema, mediante los diagramas de Heisler-Gröber, es el siguiente:

1 ) Se calculan los números de Fourier ( Fo ) y Biot ( Bi ).
2 ) Con Fo y 1/Bi se entra en el primer ábaco de Heisler y se calcula la temperatura en el centro. Si el punto del cual se pretende predecir su temperatura es el centro el problema está resuelto.
3 ) Si el punto objeto de estudio no es el centro se entra en el segundo ábado de Heisler con 1/Bi y x/L ( ó r/ro en el caso de cilindro o esfera ) y se calcula la temperatura en el punto en cuestión.

b ) Se conoce la temperatura inicial del cuerpo objeto de estudio y el objetivo es predecir el tiempo necesario para que un determinado punto alcance una temperatura dada. El método de resolución, mediante los diagramas de Heisler-Gröber, es el siguiente:

1 ) Se entra en el segundo ábaco de Heisler con 1/Bi y x/L ( ó r/ro ) y se determina la temperatura en el centro.
2 ) Se entra en el primer ábaco de Heisler con 1/Bi y la temperatura en el centro y se obtiene el valor de Fo.
3 ) Fo = ( a t ) / L2 => t = ( Fo L2 ) / a

c ) Se quiere predecir el calor transferido en un determinado período de tiempo:

1 ) Se calcula la fracción Q/Qmax = Rc mediante el ábaco de Gröber correspondiente.
2 ) Qmax = m Cp ( Ti - Tf ) => Q = Rc Qmax

- Para el caso de sólido casi ilimitado o semiinfinito el procedimiento es el mismo. Cambian los diagramas y los parámetros de entrada. En este caso sólo existen dos diagramas, uno para calcular la distribución de temperatura en el sólido y otro para calcular la fracción de calor transferido en un período de tiempo determinado.